Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья

С.С. Трахименок, Новосибирский муниципальный институт, кафедра дифференциальных уравнений

Вычисление интегралов - задачка, которая до сего времени интересует как физиков, так и математиков.

В истинной статье в § 4 предложена формула в виде ряда для вычисления интеграла от гармонической функции по радиальный луночке. Эта формула является обобщением аксиомы о среднем.

Для того чтоб выстроить схожее представление Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья в виде ряда, пригодилось ввести (§ 1) некоторую специальную последовательность гармонических полиномов, которая является базисом места типа Бергмана [1]. Введенная последовательность вначале не является ортогональной, потому в § 2 предлагаются формулы для вычисления скалярных произведений от базовых функций для того, чтоб применить способ Грама-Шмидта.

1. Области, функциональное место, полиномиальные последовательности

Ограниченную область Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья S в R2 назовем радиальный луночкой, если ее граница Г состоит из 2-ух дуг окружностей Г1 и Г2, пересекающихся в угловых точках С1 и С2. Угол меж Г1 и Г2 обозначим через . Введем в R2 декартову систему координат (x,y), поместив ее начало в середину отрезка С1С2, абсолютная величина Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья которого равна 2, и направив ось абсцисс перпендикулярно к нему. При помощи биполярных координат [2]

(1.1)

радиальная луночка S конформно отображается в нескончаемую полосу .

Обозначив оборотное к (1.1) преобразование как  =(x,y),  =(x,y), отметим, что поверхность (x,y)=j совпадает с Гj. Неважно какая луночка S совершенно точно определяется заданием Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья 1 и , т.е. S=S(1,). Для случайной функции u(x,y) суперпозицию u(x(,),y(,)) обозначим как u(,).

В качестве многофункционального места будем рассматривать огромное количество, являющееся подпространством так именуемого места Бергмана b21, состоящее из гармонических в S функций u(x,y) класса W21(S), владеющих непрерывными следами на частях Г1 и Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья Г2 границы Г. Не считая того, потребуем, чтоб функция fj()  u(,j) = u(x,y)Гj , j = 1,2, удовлетворяла на Гj условию Гельдера с показателем d0. Совокупа всех таких частей u(x,y) обозначим как W(S). Определим в W(S) скалярное произведение, положив: . Тут (x0,y Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья0) - случайная внутренняя точка из S.

Разглядим функцию всеохватывающего переменного z = x+iy: .

Функции u0 и v0 принадлежат W0(S) и в биполярных координатах имеют последующий вид:



(1.2)

Используя формулу [3, (7.117)] с некими дополнительными вычислениями, можно получить интегральные представления:

(1.3)

Интегралы в (1.3), разумеется, сходятся при a(-,), b2.

Функции u0(,) и v0(,) удовлетворяют условиям Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья Коши-Римана и аналитичны в округи хоть какой точки  из интервала (0,2). Означает, для такового  и вещественного t, удовлетворяющего условию | t | max(, 2-), имеют место разложения:

(1.4)

Тут и дальше под k понимаются функции uk либо vk, k = 0,1,.... Коэффициенты uk(,), vk(,) этих разложений при k1 владеют рядом увлекательных параметров.

1. Из (1.4) следуют рекуррентные соотношения:

(1.5)

2. Применим (1.5) к Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья интегралам в (1.3), вычислим приобретенные равенства по формулам [3, (7.113), (8.108)] и, беря во внимание (1.1), получим в переменных (x,y):

(1.6)

3. Соотношения (1.4) в декартовых координатах принимают вид:

(1.7)

Из (1.6)-(1.7), используя индукцию по k, заключаем, что функции uk(x,y) и vk(x,y) - это гармонические полиномы степени k.

4. Полиномы uk(x,y Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья) четны по y, а vk(x,y) нечетны. Не считая того, при всех k2 в угловых точках полиномы обращаются в нуль.

5. Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 полна в W(S) и образует в нем базис.

2. Ортогонализация последовательности полиномов

Последовательность {uk,vk}Ґk = 1 ортогонализуем в скалярном произведении:

(2.1)

g№0. Для того чтоб эта задачка Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья была решена с помощью отлично известного процесса Грама-Шмидта, нужно уметь вычислять скалярные произведения вида , и . Если воспользуемся формулой Грина, то значения этих скалярных произведений дают последующие формулы:

,

где  =j, j = 1,2. Как следует, можно ортогонализовать полиномы uk и vk способом Грама-Шмидта в смысле скалярного произведения (2.1). Получившийся базис будем Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья обозначать как {ek,fk}.

3. Канонический базис

Для последующих результатов нам пригодится новый базис W(S), владеющий не считая ортогональности еще некими дополнительными качествами. Потому что ортогональных базисов в гильбертовом пространстве W(S) существует нескончаемо много, то хоть какой из их можно получить из последовательности {ek,fk} унитарным преобразованием с матрицей перехода Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья Т. Воспользуемся этим и трансформируем наш базис в базис {l}, ортогональный не только лишь в W(S), да и в последующем скалярном произведении:

где KR(x0,y0) - шар с центром в (x0,y0) и радиуса R, равного расстоянию от центра до границы S. Базис с таким дополнительным свойством назовем Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья каноническим в точке (x0,y0). Подтверждено (см.[4]), что базис в W(S), канонический в точке (x0,y0), существует.

Вектор-столбец нескончаемой высоты с координатами:

, , , где ,

(3.1)

для l = 0,1,2,... - назовем нормированным следом u(x,y) в точке (x0,0) аналогично его определению в [4].

Ортонормированному базису {ek,fk} сравним нескончаемую матрицу , столбцы которой являются Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья нормированными следами в (x0,0) функций ek и fk. Матрица - это нормированная базовая матрица следов (ФМС) в точке (x0,0). Из [4] понятно, что разложима в произведение 3-х сомножителей, 1-ый из которых Q = (qij) отчасти изометричен в l2, 2-ой  - диагонален с положительной растущей последовательностью диагональных частей {j}, а 3-ий Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья  - изометричен в l2, т.е.

Беря во внимание характеристики этого разложения и формулы нахождения коэффициентов ряда [4, §5, аксиома 1] и используя характеристики скалярного произведения, канонический в точке (x0,0) базис комфортно записать в виде ряда по функциям ek и fk. Тогда при всех натуральных l имеют место равенства:

(3.2)

где

(3.3)

Дифференцирование ek и fk сводится к Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья дифференцированию uk и vk.

4. Приближенное интегрирование гармонических функций

В этом параграфе построим формулы интегрирования случайной функции из W(S) и базовой последовательности полиномов.

Аксиома 4.1. Существует единственная последовательность такая, что для хоть какой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное произведение естественно и при Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья всем этом

(4.1)

Последовательность рассчитывается по формулам:

(4.2)

где базис в W(S).

Это утверждение просто обосновать, если разбить функцию u(x,y) на две части - четную и нечетную по y и разложить каждую в ряд по каноническому базису W(S). Дальше, беря во внимание определение (3.1) координат вектор-столбца , производя нужные преобразования с суммами Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья и беря во внимание (3.2)-(3.3), получим формулы (4.1).

В формулировке аксиомы 4.1 мы вывели представления для коэффициентов D1j и D2j, которые употребляют интегралы по луночке S. Численное вычисление множителя Al сводится к результатам последующего утверждения. Но поначалу условимся об обозначениях.

(4.2)

Аксиома 4.2. Интеграл от полинома uk+1, взятый по луночке S Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья = S(1,2-1), совпадает с приращением функции Qk() на отрезке [1,2], а от полинома vk+1, взятый по той же луночке, равен нулю.

Тут отметим, что приведенное в §4 приложение системы полиномов является не единственным. К примеру, ее можно использовать в задачках, использующих альтернирующий способ Шварца. Также с помощью их можно отыскивать решения Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья в составных областях на плоскости.

Перечень литературы

Axler S., Bourdon P., Ramey~W. Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 1992.

Лебедев Н.Н. Особые функции и их приложения.М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1963. 360 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.:Гос. изд-во физ.-мат. лит Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке - статья. 1961. 523 с.

Васкевич В.Л. Аналоги эрмитовых кубатурных формул для интеграла Дирихле от гармонической функции // Теоретические и вычислительные задачи в задачках математической физики. Труды ИМ СО РАН, том 24. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1994. С. 93-126.



kto-sidel-na-moem-bolshom-stule.html
kto-skoree-svernet-lentu.html
kto-sozdal-tokarno-vintoreznij-stanok.html